Tìm tất cả các số nguyên $n\ge 2$ sao cho mỗi số $2^2\cdot n-1$, $2^3\cdot n-1$, $\dots$, $2^n\cdot n-1$ là số nguyên tố.

Chú ý rằng $n=2$ và $n=3$ thoả mãn điều kiện của bài toán, bởi vì
$$2^2\cdot 2-1=7$$
$$2^2\cdot 3-1=11,2^3\cdot 3-1=23$$
là các số nguyên tố.

Với $n=4$, ta có $2^2\cdot 4-1=15$ không là số nguyên tố.
Với $n=5$, ta có $2^3\cdot 5-1=39$ không là số nguyên tố.

Xét $n\ge 6$, khi đó $n-1\ge 5$. Nếu $n-1$ có một ước nguyên tố lẻ $p$ thì theo định lý Fermat nhỏ, ta có
$$2^{p-1}\cdot n-1\equiv 2^{p-1}-1\equiv 0(\mathrm{mod}p).$$
Hiển nhiên $2^{p-1}\cdot n-1>p$ nên không thể là số nguyên tố.

Giả sử $n-1$ chỉ có ước nguyên tố là $2$, hay $n$ có dạng $n=2^k+1$. Rõ ràng $3\le k\le n$. Mặt khác
$$2^{k-1}\cdot n-1=2^{2k-1}+2^{k-1}-1=2^{2k-1}+2^k-2^{k-1}-1=\left(2^k-1\right)\left(2^{k-1}+1\right)$$
không là số nguyên tố. Vậy chỉ có $2$ số nguyên $n$ thoả mãn bài toán là $n=2$ và $n=3$.