Tính ${\int }_0^1{3}^x\text{d}x$ bằng

Trên đường quốc lộ, một ô tô đang di chuyển với vận tốc $12,5\text{ m/s}$. Cùng lúc, một đoàn tàu chạy cùng hướng và song song với đường quốc lộ với vận tốc $\frac{50}{3}\text{ m/s}$. Khi ô tô cách đuôi tàu $100$ mét thì ô tô bắt đầu tăng tốc với vận tốc $v(t)=2,5t+b\text{ (m/s)}$, trong đó $t$ là thời gian kể từ lúc ô tô bắt đầu tăng tốc. Khi ô tô đạt đến vận tốc tối đa cho phép $25\text{ m/s}$ thì ô tô giữ nguyên vận tốc.

Một khoảng sân của một ngôi nhà có hình dạng là một phần của parabol, nếu chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ như hình vẽ bên dưới thì parabol có phương trình là $y=x^2$. Chủ nhà muốn thiết kế một hồ nuôi cá cảnh có dạng hình tròn bán kính $1\text{m}$, hình tròn được thiết kế tiếp xúc với $2$ nhánh của parabol, phía trên của hình tròn ngăn bởi một bức tường mỏng tiếp xúc với hình tròn. Phần đất còn lại của khoảng sân giới hạn bởi đường tròn, $2$ nhánh của parabol và bức tường được thiết kế trồng hoa (phần gạch sọc trong hình vẽ bên dưới). Tính diện tích mà chủ nhà thiết kế để trồng hoa, biết rằng đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét. (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Cho hàm số $f(x)=\{\begin{array}{ll}x+2& \text{khi }-3\le x\le -1\\ x^2& \text{khi }x\ge -1\end{array}$ thì ${\int }_{-3}^{3}f(x)\text{d}x$ bằng

Giá trị của ${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sin x\text{d}x$ bằng

Biết ${\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{6}}|\sin x|\text{d}x=a-\sqrt{b}(a,b\in \mathbb{Q})$. Khi đó $a+4b$ bằng

Cho hàm số $f(x)=4x^3+x$ liên tục trên $\mathbb{R}$, $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau: