Tính số nghiệm nguyên của bất phương trình $2{\log }_5\frac{x^2+1}{x}+2x^4-6x^2+1\le 0$.

Điều kiện $x>0$. Với $x\in {\mathbb{Z}}^{+}$, kiểm tra $x=1$ ta có $2{\log }_{5}2+2-6+1=2{\log }_{5}2-3<0$ (thỏa mãn); với $x\ge 2$ thì $2x^4-6x^2+1\ge 32-24+1=9>0$ và ${\log }_5\frac{x^2+1}{x}>0$. Vậy bất phương trình có đúng $1$ nghiệm nguyên là $x=1$.