Tính tích phân $I={\int }_0^1(2^x-3{)}^{2}dx$.

Một công ty thiết kế tròng kính sao cho mỗi phần đường viền của tròng kính là một phần đồ thị của hàm số bậc hai hoặc một phần đồ thị của hàm số bậc bốn rồi ghép chúng lại với nhau như hình vẽ bên dưới (sau đó họ sẽ điều chỉnh theo tỷ lệ phù hợp). Xét hệ trục tọa độ $Oxy$ như hình vẽ bên dưới, biết rằng $A(-2;0)$, $B(0;-4)$, $C(7;0)$ và $D(1;k)$ với $k>0$.

Cho biết đường cong $(C_1)$ đi qua các điểm $A,D,C$ là một phần của đồ thị hàm số bậc hai nào đó, đường cong $(C_2)$ ứng với đường viền nối $A$ với $B$ là một phần của đồ thị hàm số $y=b{x}^2+c$, còn đường cong $(C_3)$ ứng với đường viền nối $B$ với $C$ là một phần của đồ thị hàm số $y=m{x}^4+n$. Tính $k$ biết diện tích tròng kính đó bằng 33,44 (đơn vị diện tích).

[TH] Biết ${\int }_1^2\frac{\mathrm{d}x}{(x+1)(2x+1)}=a\ln 2+b\ln 3+c\ln 5,(a;b;c\in \mathbb{Q})$. Tính giá trị $a+b+c$.

[TH] Cho hàm số $f(x)$ thỏa mãn $f\left(\frac{\pi }{4}\right)=0$ và $f^{\prime }(x){\sin }^2\frac{x}{2}{\cos }^2\frac{x}{2}=1$. Tính $f\left(\frac{\pi }{2}\right)$.

[TH] Cho hàm số $f(x)$. Biết $f(0)=4$ và $f^{\prime }(x)=2{\sin }^{2}x+1$, $\forall x\in \mathbb{R}$. Biết $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=\frac{{\pi }^2+a\pi +b}{16};(a;b\in \mathbb{Z})$, tính $a+b$.

[NB] Cho $f(x)$ là hàm số liên tục trên đoạn $[a;b]$ và $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên đoạn $[a;b]$. Tích phân từ $a$ đến $b$ của hàm số $f(x)$ được kí hiệu là

[TH] Giả sử ${\int }_1^5\frac{dx}{2x-1}=\ln c$. Giá trị đúng của $c$ là