Trên mỗi cạnh của hình vuông ABCD, lấy các điểm E, F, G, H như hình vẽ. Sau đó điền trên 8 điểm đó các số tự nhiên khác nhau từ 1 đến 8, độ dài của các cạnh bằng tổng các số nằm trên cạnh đó, nghĩa là độ dài cạnh hình vuông bằng các số ghi trên các điểm $A+E+B=B+H+C=D+G+C=A+F+D$. Xác suất để được hình vuông có độ dài cạnh bằng 15 là phân số tối giản $\frac{a}{b};\left(a,b\in \mathbb{N}\right)$. Tính giá trị $a+b$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $S=A+B+C+D$. Cộng bốn đẳng thức cạnh: $(E+F+G+H)+2S=60$, mà $E+F+G+H=36-S$ nên $36-S+2S=60\Rightarrow S=24$, do đó $E+F+G+H=12$.

Bốn số ở giữa có tổng 12 chỉ có thể là tập $\{1,2,3,6\}$ hoặc $\{1,2,4,5\}$; các số ở góc tương ứng là $\{4,5,7,8\}$ hoặc $\{3,6,7,8\}$.

Trường hợp 1: góc $\{4,5,7,8\}$, giữa $\{1,2,3,6\}$. Khi đó $15-\text{(tổng hai đỉnh keˆˋ)}\in \{1,2,3,6\}$, tức tổng hai đỉnh kề thuộc $\{9,12,13,14\}$. Nhưng cặp $4+7=11$ và $7+8=15$ đều bị cấm, nghĩa là đỉnh 7 chỉ được kề với 5 — không thể vì 7 có hai đỉnh kề. Trường hợp này vô nghiệm.

Trường hợp 2: góc $\{3,6,7,8\}$, giữa $\{1,2,4,5\}$. Các cặp kề hợp lệ: $3+7=10\to 5$, $3+8=11\to 4$, $6+7=13\to 2$, $6+8=14\to 1$; các cặp kề cấm là $(3,6)$ và $(7,8)$. Chu trình hợp lệ duy nhất quanh hình vuông là $3-7-6-8-3$ (chiều ngược lại $3-8-6-7-3$ là cùng một chu trình, không đếm riêng). Chu trình này cho $4\cdot 2=8$ cách gán lên $(A,B,C,D)$; với mỗi cách, các số giữa được xác định duy nhất và đôi một khác nhau thuộc $\{1,2,4,5\}$.

Tổng số cách điền 8 số từ 1 đến 8 là $8!=40320$. Xác suất $=\frac{8}{40320}=\frac{1}{5040}$, nên $a+b=1+5040=5041$.