Trên tập hợp các số phức, xét phương trình $z^2+2mz-m+12=0$ ($m$ là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt $z_1,z_2$ thỏa mãn $|z_1+z_2|=\sqrt{2}|z_1-z_2|$?

Phương trình có ${\Delta }^{\prime }=m^2-(-m+12)=m^2+m-12$.

- Trường hợp 1: ${\Delta }^{\prime }>0⟺[\begin{array}{l}m<-4\\ m>3\end{array}$.
Phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt $z_1,z_2$.
Khi đó $|z_1+z_2|=\sqrt{2}|z_1-z_2|⟺(z_1+z_2{)}^2=2(z_1-z_2{)}^2$
$⟺(z_1+z_2{)}^2=2[(z_1+z_2{)}^2-4z_1{z}_2]⟺(z_1+z_2{)}^2-8z_1{z}_2=0$
Theo định lý Vi-ét: $z_1+z_2=-2m$ và $z_1{z}_2=-m+12$.
Thay vào: $(-2m{)}^2-8(-m+12)=0⟺4m^2+8m-96=0⟺m^2+2m-24=0⟺[\begin{array}{l}m=4\text{ (thỏa ma˜n }m>3)\\ m=-6\text{ (thỏa ma˜n }m<-4)\end{array}$.
Nhận được 2 giá trị nguyên $m=4$ và $m=-6$.

- Trường hợp 2: ${\Delta }^{\prime }<0⟺-4<m<3$.
Phương trình có hai nghiệm phức liên hợp: $z_1,z_2=-m\pm i\sqrt{12-m-m^2}$.
Khi đó $|z_1+z_2|=|-2m|=2|m|$ và $|z_1-z_2|=2\sqrt{12-m-m^2}$.
Điều kiện $|z_1+z_2|=\sqrt{2}|z_1-z_2|⟺4m^2=2\cdot 4(12-m-m^2)⟺4m^2=8(12-m-m^2)$
$⟺m^2=2(12-m-m^2)⟺3m^2+2m-24=0.$
Phương trình này có ${\Delta }^{\prime }=1-3(-24)=73$ không phải số chính phương, nên không có nghiệm nguyên $m$.

Vậy có đúng 2 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán là $m=-6$ và $m=4$.