Trên tập hợp các số phức, xét phương trình $z^2-2z+m^2=0$ ($m$ là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ thuộc đoạn $[-10;10]$ để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt $z_1,z_2$ thoả mãn $|2z_1-1|=|2z_2-1|$?

Chọn D.
Ta có $z^2-2z+m^2=0\iff (z-1{)}^2=1-m^2$ (1).
- Trường hợp 1: $1-m^2>0\iff -1<m<1$.
Phương trình (1) có hai nghiệm thực phân biệt. Khi đó:
$|2z_1-1|=|2z_2-1|\iff \left[\begin{array}{c}2z_1-1=2z_2-1\\ 2z_1-1=-(2z_2-1)\end{array}\right]\iff \left[\begin{array}{c}{z}_1=z_2\\ z_1+z_2=1\end{array}\right]$
Mà theo Vi-ét, $z_1+z_2=2\ne 1$, nên trường hợp này không có nghiệm thỏa mãn.
- Trường hợp 2: $1-m^2<0\iff \left[\begin{array}{c}m>1\\ m<-1\end{array}\right]$.
Phương trình (1) có hai nghiệm phức liên hợp: $z_{1,2}=1\pm i\sqrt{m^2-1}$.
Khi đó:
$|2z_1-1|=|1+2i\sqrt{m^2-1}|=\sqrt{1+4(m^2-1)}=|1-2i\sqrt{m^2-1}|=|2z_2-1|$
Điều này luôn đúng với mọi $m\in (-\infty ;-1)\cup (1;+\infty )$.
Vì $m\in \mathbb{Z}$ và $m\in [-10;10]$ nên $m\in \{-10;-9;\dots ;-2;2;\dots ;9;10\}$.
Vậy có $9+9=18$ giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn.