Trên tập hợp số phức, cho phương trình $z^2+az+b=0$ (với $a,b$ là số thực). Biết rằng hai số phức $w+1+i$ và $2w-1+5i$ là hai nghiệm của phương trình đã cho. Tính tổng $a+b$.

Vì phương trình bậc hai có hệ số thực và nghiệm không thực nên hai nghiệm là hai số phức liên hợp: $z_2=\overline{z_1}$. Đặt $w=x+yi$ ($x,y\in \mathbb{R}$). Ta có $z_1=(x+1)+(y+1)i$ và $z_2=(2x-1)+(2y+5)i$. Vì $z_2=\overline{z_1}$, suy ra $2x-1=x+1\Rightarrow x=2$ và $2y+5=-(y+1)\Rightarrow 3y=-6\Rightarrow y=-2$. Khi đó $z_1=3-i$ và $z_2=3+i$. Theo định lý Viète: $z_1+z_2=-a\Rightarrow -a=6\Rightarrow a=-6$; $z_1{z}_2=b\Rightarrow b=3^2+1^2=10$. Vậy $a+b=-6+10=4$. Chọn D.