Trên tập số phức, xét phương trình $z^2-2mz+m^2+m+8=0$ ($m$ là tham số thực). Tổng các giá trị của $m$ để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt $z_1,z_2$ và hai điểm biểu diễn $z_1,z_2$ trên mặt phẳng phức cùng với gốc tọa độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng $3$ là

Ta có ${\Delta }^{\prime }=-m-8$. Để hai điểm biểu diễn $z_1,z_2$ cùng với gốc tọa độ $O$ tạo thành một tam giác thì $z_1,z_2$ phải là hai nghiệm phức không thực, tức ${\Delta }^{\prime }<0\iff m>-8$ và $m\ne 0$. Khi đó $z_{1,2}=m\pm i\sqrt{m+8}$. Diện tích tam giác $OAB$ là $S_{OAB}=\frac{1}{2}|m|\cdot 2\sqrt{m+8}=|m|\sqrt{m+8}=3\iff m^2(m+8)=9\iff m^3+8m^2-9=0$. Phương trình bậc ba này có $3$ nghiệm thực phân biệt thuộc $(-8;+\infty )\setminus \{0\}$ có tổng bằng $-8$ (theo định lí Vi-ét). Chọn C.