Trong không gian, cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có đường chéo $A{C}^{\prime }=2a\sqrt{3},(a>0)$. Khi đó:

(AI giải đề cho tôi)
Cạnh hình lập phương: $A{C}^{\prime }=a\sqrt{3}\cdot \text{cạnh}=2a\sqrt{3}\Rightarrow$ cạnh $=2a$.
a) Đúng: $|\overrightarrow{A{C}^{\prime }}|=A{C}^{\prime }=2a\sqrt{3}$.
b) Đúng: Với $A(0;0;0)$, $B(2a;0;0)$, $D(0;2a;0)$, $A^{\prime }(0;0;2a)$ thì $C(2a;2a;0)$, $C^{\prime }(2a;2a;2a)$, nên $C$ là hình chiếu của $C^{\prime }$ lên $(Oxy)$.
c) Sai: $I(a;a;a)$, $J$ tâm $A^{\prime }AB{B}^{\prime }$: $J(a;0;a)$, $K$ tâm $A^{\prime }AD{D}^{\prime }$: $K(0;a;a)$. Khi đó $\overrightarrow{IJ}=(0;-a;0)$, $\overrightarrow{KD}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OK}=(0;a;-a)$, nên $\overrightarrow{IJ}.\overrightarrow{KD}=-a^2\ne -\frac{\sqrt{2}}{4}{a}^2$.
d) Đúng: Với $Ox\equiv AD$, $Oy\equiv AB$, $Oz\equiv A{A}^{\prime }$: $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=4\overrightarrow{MG}$ với $G(a;a;0)$ là tâm $ABCD$. $|\overrightarrow{MG}|$ ngắn nhất khi $M$ là hình chiếu của $G$ lên $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$, tức $M(a;a;2a)$. Vậy $\overrightarrow{OM}-\vec{k}=(a;a;2a-1)$. Khớp đáp án mã đề 122: DDSD.
a) (AI giải đề cho tôi)
Độ dài vectơ bằng độ dài đường chéo $A{C}^{\prime }=2a\sqrt{3}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$C(2a;2a;0)$ và $C^{\prime }(2a;2a;2a)$ nên $C$ là hình chiếu vuông góc của $C^{\prime }$ lên $(Oxy)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{IJ}=(0;-a;0)$, $\overrightarrow{KD}=(0;a;-a)$ nên tích vô hướng bằng $-a^2$, không bằng $-\frac{\sqrt{2}}{4}{a}^2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tổng vectơ bằng $4\overrightarrow{MG}$, $G(a;a;0)$; $M$ ngắn nhất tại $(a;a;2a)$, suy ra $\overrightarrow{OM}-\vec{k}=(a;a;2a-1)$.