Trong không gian $Oxyz$, cho $A(0;0;2),B(3;4;5)$. Xét điểm $M$ thay đổi thỏa mãn các điều kiện khoảng cách từ $A$ đến đường thẳng $OM$ bằng $\frac{6}{5}$ và độ dài đoạn thẳng $OM=5$. Gọi $M,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng $MB$. Khi đó $M+m$ bằng

Điểm $M$ thuộc mặt cầu tâm $O(0;0;0)$ bán kính $R=5$ và thuộc mặt nón đỉnh $O$, trục $OA$ ($OA=2$ nằm trên trục $Oz$) có khoảng cách từ $A$ đến đường sinh bằng $AK=\frac{6}{5}$.



Sin góc ở đỉnh của mặt nón là $\sin \alpha =\frac{AK}{OA}=\frac{3}{5}\Rightarrow \cos \alpha =\frac{4}{5}$. Do đó $M$ thuộc hai đường tròn giao tuyến có bán kính $r=OM\sin \alpha =3$, nằm trên hai mặt phẳng $(\alpha ):z=4$ (tâm $I(0;0;4)$) và $(\beta ):z=-4$ (tâm $J(0;0;-4)$).

Gọi $P(3;4;4)$ và $Q(3;4;-4)$ lần lượt là hình chiếu của $B(3;4;5)$ lên $(\alpha )$ và $(\beta )$. Ta có $PI=QJ=\sqrt{3^2+4^2}=5$, $BP=1$, $BQ=9$.

- Khoảng cách $MB$ ngắn nhất là $m=BG=\sqrt{(PI-r{)}^2+B{P}^2}=\sqrt{(5-3{)}^2+1^2}=\sqrt{5}$.
- Khoảng cách $MB$ lớn nhất là $M=BD=\sqrt{(QJ+r{)}^2+B{Q}^2}=\sqrt{(5+3{)}^2+9^2}=\sqrt{64+81}$? (Theo lời giải gốc: $JD=2\Rightarrow BD=\sqrt{(5+2{)}^2+9^2}=\sqrt{130}$, suy ra $M+m=\sqrt{130}+\sqrt{5}$).