Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(1;1;1)$, $B(1;2;2)$, $I(0;0;4)$. Mặt cầu $(S)$ đi qua hai điểm $A,B$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(Oxy)$ tại điểm $M$. Giá trị lớn nhất của độ dài đoạn $IM$ bằng

Chọn A
Đường thẳng $AB$ có phương trình tham số: $\{\begin{array}{rl}x& =1\\ y& =1+t\\ z& =1+t\end{array}$.
Gọi $C=AB\cap (Oxy)\Rightarrow z=0\Rightarrow t=-1\Rightarrow C(1;0;0)$.
Vì mặt cầu $(S)$ qua $A,B$ và tiếp xúc với $(Oxy)$ tại $M$ nên theo phương tích:
$C{M}^2=CA\cdot CB=(\sqrt{0^2+1^2+1^2})\cdot (\sqrt{0^2+2^2+2^2})=\sqrt{2}\cdot 2\sqrt{2}=4\Rightarrow CM=2$.
Do đó $M(x;y;0)\in (Oxy)$ thuộc đường tròn tâm $C(1;0;0)$, bán kính $R=2$ trong mặt phẳng $(Oxy)$:
$(x-1{)}^2+y^2=4\Rightarrow x\in [-1;3]$.
Ta có $I{M}^2=x^2+y^2+16=x^2+[4-(x-1{)}^2]+16=2x+19$.
Vì $x\in [-1;3]$ nên $I{M}^2\le 2(3)+19=25\Rightarrow IM\le 5$.
Giá trị lớn nhất của $IM$ bằng 5.