Trong không gian $Oxyz$, cho ba đường thẳng $d_1:\frac{x-3}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-2}{-2}$, $d_2:\frac{x+1}{3}=\frac{y}{-2}=\frac{z+4}{-1}$, $d_3:\frac{x+3}{4}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z}{6}$. Đường thẳng song song với $d_3$, cắt $d_1$ và $d_2$ có phương trình là:

Gọi đường thẳng cần tìm là $\Delta$. Giả sử $\Delta \cap d_1=A(3+2u;-1+u;2-2u)$ và $\Delta \cap d_2=B(-1+3v;-2v;-4-v)$. Ta có $\overrightarrow{AB}=(-4+3v-2u;1-2v-u;-6-v+2u)$. Vì $\Delta \parallel d_3$ nên $\overrightarrow{AB}=k{\vec{u}}_3$ với ${\vec{u}}_3=(4;-1;6)$, do đó:
$\{\begin{array}{l}-4+3v-2u=4k\\ 1-2v-u=-k\\ -6-v+2u=6k\end{array}\iff \{\begin{array}{l}u=0\\ v=0\\ k=-1\end{array}$
Suy ra $A(3;-1;2)$. Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(3;-1;2)$ và có một vectơ chỉ phương là $-{\vec{u}}_3=(-4;1;-6)$ nên có phương trình $\frac{x-3}{-4}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-2}{-6}$. Chọn C.