Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(-13;-9;3),B(2;0;0)$ và $C(1;1;-1)$. Xét các mặt phẳng $(P)$ đi qua $C$ sao cho $A$ và $B$ nằm cùng phía so với $(P)$. Khi $d(A,(P))+2d(B,(P))$ đạt giá trị lớn nhất thì $(P)$ có dạng $ax+by+cz-5=0$. Giá trị của $a+b+c$ bằng

Chọn D.
Gọi $\vec{n}(a^{\prime };b^{\prime };c^{\prime })$ là VTPT của mặt phẳng $(P)$.
Vì $(P)$ đi qua $C(1;1;-1)$ nên phương trình $(P)$ là:
$$a^{\prime }(x-1)+b^{\prime }(y-1)+c^{\prime }(z+1)=0⟺a^{\prime }x+b^{\prime }y+c^{\prime }z-(a^{\prime }+b^{\prime }-c^{\prime })=0.$$
Vì $A$ và $B$ nằm cùng phía so với $(P)$ nên khoảng cách tổng hợp là:
$$T=d(A,(P))+2d(B,(P))=\frac{|-14a^{\prime }-10b^{\prime }+4c^{\prime }|}{\sqrt{a^{\prime 2}+b^{\prime 2}+c^{\prime 2}}}+2\frac{|a^{\prime }-b^{\prime }+c^{\prime }|}{\sqrt{a^{\prime 2}+b^{\prime 2}+c^{\prime 2}}}=\frac{|-12a^{\prime }-12b^{\prime }+6c^{\prime }|}{\sqrt{a^{\prime 2}+b^{\prime 2}+c^{\prime 2}}}.$$
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki:
$$|-12a^{\prime }-12b^{\prime }+6c^{\prime }{|}^2\le (12^2+12^2+6^2)(a^{\prime 2}+b^{\prime 2}+c^{\prime 2})=324(a^{\prime 2}+b^{\prime 2}+c^{\prime 2}).$$
Suy ra $T\le \sqrt{324}=18$.
Dấu bằng xảy ra khi:
$$\frac{a^{\prime }}{-12}=\frac{b^{\prime }}{-12}=\frac{c^{\prime }}{6}⟺a^{\prime }=b^{\prime }=-2c^{\prime }.$$
Chọn $c^{\prime }=-1⟹a^{\prime }=2,b^{\prime }=2$.
Khi đó phương trình $(P)$ là:
$$2x+2y-z-(2+2-(-1))=0⟺2x+2y-z-5=0.$$
So sánh với $ax+by+cz-5=0$, ta có $a=2,b=2,c=-1$.
Vậy $a+b+c=2+2-1=3$.