Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z}{2}$ và đường thẳng $\Delta :\frac{x-2}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{-1}$. Hai mặt phẳng $(P),(Q)$ vuông góc với nhau, cùng chứa $d$ và cắt $\Delta$ tại $M,N$. Độ dài đoạn thẳng $MN$ ngắn nhất bằng

Ta nhận xét $d\perp \Delta$ do ${\vec{u}}_d\cdot {\vec{u}}_{\Delta }=1\cdot 1+1\cdot 1+2\cdot (-1)=0$.
Trong $(Q)$, kẻ $ME\perp d$ tại $E$. Suy ra $ME\perp (P)\Rightarrow ME\perp NE\Rightarrow △MEN$ vuông tại $E$.
Hạ đường cao $EF$ trong $△MEN$ vuông tại $E$.
Ta có: $\{\begin{array}{l}d\perp ME\\ d\perp MN\end{array}\Rightarrow d\perp (MEN)\Rightarrow d\perp EF$.
Mà $EF\perp \Delta \Rightarrow EF=d(d,\Delta )$.
Gọi $K$ là trung điểm $MN$. Khi đó, $MN=2EK\ge 2EF=2d(d,\Delta )$.
Dấu bằng xảy ra khi $K\equiv F$, tức là $△MEN$ vuông cân tại $E$.
Ta có: $d:\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z}{2}\Rightarrow \{\begin{array}{l}A(1;1;0)\in d\\ {\vec{u}}_d=(1;1;2)\end{array}$ và $\Delta :\frac{x-2}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{-1}\Rightarrow \{\begin{array}{l}B(2;0;1)\in \Delta \\ {\vec{u}}_{\Delta }=(1;1;-1)\end{array}$.
Suy ra $\{\begin{array}{l}\overrightarrow{AB}=(1;-1;1)\\ [{\vec{u}}_d,{\vec{u}}_{\Delta }]=(-3;3;0)\end{array}\Rightarrow d(d,\Delta )=\frac{|\overrightarrow{AB}\cdot [{\vec{u}}_d,{\vec{u}}_{\Delta }]|}{|[{\vec{u}}_d,{\vec{u}}_{\Delta }]|}=\sqrt{2}$.
Vậy $MN$ ngắn nhất là $2\sqrt{2}$. Chọn C.