Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{x+1}{2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z+2}{-1}$ và mặt phẳng $(P):2x+y+z-8=0$. Tam giác $ABC$ có $A(-1;2;2)$, hai điểm $B,C$ di động trên $(P)$ và trọng tâm $G$ nằm trên đường thẳng $d$. Gọi $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$. Khi khoảng cách từ điểm $M$ đến đường thẳng $BC$ đạt giá trị lớn nhất thì đường thẳng $BC$ có một vectơ chỉ phương là:

Gọi $M$ là trung điểm của $AB$, $I$ là trung điểm của $BC$. Do $M$ là trung điểm của $AB$ nên $d(M,BC)=\frac{1}{2}d(A,BC)$. Do đó $d(M,BC)$ đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi $d(A,BC)$ đạt giá trị lớn nhất. Vì $G\in d\Rightarrow G(2a-1;a+2;-a-2)$. $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $\overrightarrow{AI}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AG}\Rightarrow I\left(3a-1;\frac{3}{2}a+2;-\frac{3}{2}a-4\right)$. Điểm $I\in (P)$ nên $2(3a-1)+\left(\frac{3}{2}a+2\right)+\left(-\frac{3}{2}a-4\right)-8=0\iff 6a-12=0\iff a=2$. Do đó điểm $I(5;5;-7)$ là một điểm cố định thuộc $(P)$. Khi đó đường thẳng $BC$ luôn đi qua điểm cố định $I$. Ta có $d(A,BC)\le AI$, dấu '=' xảy ra khi $AI\perp BC$. Lại có $BC\subset (P)$ nên đường thẳng $BC$ nhận ${\vec{u}}_{BC}=[\overrightarrow{AI},{\vec{n}}_P]$ làm vectơ chỉ phương. Ta có $A(-1;2;2),I(5;5;-7)\Rightarrow \overrightarrow{AI}=(6;3;-9)=3(2;1;-3)$, và ${\vec{n}}_P=(2;1;1)$. Do đó $[\overrightarrow{AI},{\vec{n}}_P]=3(1\cdot 1-(-3)\cdot 1;(-3)\cdot 2-2\cdot 1;2\cdot 1-1\cdot 2)=3(4;-8;0)=12(1;-2;0)$. Một vectơ chỉ phương của đường thẳng $BC$ là ${\vec{u}}_3=(1;-2;0)$. Chọn B.