Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(2;1;3)$ và $B(6;5;5)$. Xét khối nón $(N)$ ngoại tiếp mặt cầu đường kính $AB$ có $B$ là tâm đường tròn đáy của khối nón. Gọi $S$ là đỉnh của khối nón $(N)$. Khi thể tích của khối nón $(N)$ nhỏ nhất thì mặt phẳng qua đỉnh $S$ và song song với mặt phẳng chứa đường tròn đáy của $(N)$ có phương trình $2x+by+cz+d=0$. Tính $T=b+c+d$.

Mặt cầu đường kính $AB$ có đường kính $AB=\sqrt{(6-2{)}^2+(5-1{)}^2+(5-3{)}^2}=\sqrt{16+16+4}=6\Rightarrow$ bán kính mặt cầu là $r=3$.
Xét thiết diện qua trục của khối nón là tam giác cân $SCD$ với đáy $CD=2x$ và đường cao $SB=y$. Mặt cầu nội tiếp thiết diện có bán kính $r=3$.
Ta có diện tích tam giác $SCD$: $S=\frac{1}{2}y(2x)=xy$, đồng thời $S=pr=(x+\sqrt{x^2+y^2})r$. Từ đó $x^2=\frac{r^{2}y}{y-2r}$.
Thể tích khối nón là $V=\frac{1}{3}\pi x^{2}y=\frac{\pi r^2}{3}\frac{y^2}{y-2r}$.
Xét hàm số $g(y)=\frac{y^2}{y-2r}=y-2r+\frac{4r^2}{y-2r}+4r\ge 2\sqrt{(y-2r)\frac{4r^2}{y-2r}}+4r=8r$.
Thể tích nhỏ nhất khi $y-2r=\frac{4r^2}{y-2r}\iff y=4r$. Khi đó $SB=4r=12$. Vì $B$ là tâm đáy và mặt cầu tiếp xúc tại tâm đáy nên $\overrightarrow{BS}=4\overrightarrow{BI}=2\overrightarrow{BA}\Rightarrow S=(-2;-3;1)$.
Mặt phẳng qua $S$ song song với đáy vuông góc với $AB$, có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{AB}=(4;4;2)=2(2;2;1)$.
Phương trình mặt phẳng: $2(x+2)+2(y+3)+1(z-1)=0\iff 2x+2y+z+9=0$. Do đó $b=2,c=1,d=9\Rightarrow T=b+c+d=2+1+9=12$.


Chọn đáp án B.