Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d:\frac{x-1}{3}=\frac{y+2}{1}=\frac{z}{1}$; $d^{\prime }:\{\begin{array}{l}x=t\\ y=1+2t\\ z=-1+t\end{array}$. Gọi $\Delta$ là đường thẳng đi qua $M(3;2;1)$, vuông góc với $d$ và cắt $d^{\prime }$. Khi đó tọa độ giao điểm của $\Delta$ và mặt phẳng $(Oyz)$ là

Gọi giao điểm của $\Delta$ và $d^{\prime }$ là $N(t;1+2t;-1+t)$.
Khi đó $\overrightarrow{MN}=(t-3;2t-1;t-2)\ne \vec{0}$, $\forall t$ là vectơ chỉ phương của $\Delta$ và $\vec{u}=(3;1;1)$ là vectơ chỉ phương của $d$.
Vì $\Delta \perp d$ nên $\overrightarrow{MN}\cdot \vec{u}=0$, tương đương với $3(t-3)+(2t-1)+(t-2)=0\iff t=2$.
Khi đó $\overrightarrow{MN}=(-1;3;0)$ nên phương trình đường thẳng $\Delta$ là $\{\begin{array}{l}x=3-s\\ y=2+3s\\ z=1\end{array}$.
Giao điểm của $\Delta$ và $(Oyz)$ ứng với $x=0\iff s=3$, là điểm có tọa độ $(0;11;1)$.