Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng ( P ) : 2 x - y + 2 z - 1 = 0 , ( Q ) : 2 x - y + 2 z + 11 = 0
và các điểm A ( -1;1;1) , B (1; 2;3) . Gọi ( S ) là mặt cầu bất kỳ qua A và tiếp xúc với cả hai mặt
phẳng ( P ) , ( Q ) . Gọi I là tâm của mặt cầu ( S ) . Giá trị lớn nhất của độ dài đoạn thẳng BI thuộc
khoảng nào dưới đây?

Chọn B

24
Gọi I là tâm mặt cầu ( S ) thì I chạy trên mặt phẳng ( ) song song và cách đều ( P ) , ( Q ) nên
mặt phẳng ( ) :2 x - y + 2 z + 5 = 0 và bán kính mặt cầu ( S ) là
5 +1
AI = d(( ); ( P )) = = 2 . Từ đó suy ra I cũng thuộc mặt cầu ( S ' ) tâm A , bk AI .
2 + 12 + 22
2

2 5
Suy ra: tập hợp điểm I là đường tr$\int$ n ( C ) = ( ) $\cap$ ( S ' ) có bán kính r = AI 2 - d 2( A; ( )) = .
3
11  13 29 5 
Gọi H , K lần lượt là hình chiếu của A, B lên ( ) $\Rightarrow$ BK = d( B ; ( )) = và K  - ; ;  .
3  9 9 9
2 5+ 4 2
Ta có: BI = BK 2 + IK 2 $\Rightarrow$ BI max $\iff$ IK max = r + HK = r + AK 2 - AH 2 = .
3
Vậy BI max = BK 2 + IK 2 $\approx$ 4,98 $\in$ ( 4;5 ) .