Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):x-2y+2z+1=0$ và ba điểm $A(1;2;0)$, $B(1;-2;4)$, $C(3;-10;12)$. Điểm $M(a;b;c)$ thuộc $(P)$ sao cho $M{A}^2+M{B}^2+2M{C}^2$ đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị $2a+3b+c$ bằng

Chọn B.
Gọi $I$ là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+2\overrightarrow{IC}=\vec{0}$.
Tọa độ của $I$:
$x_I=\frac{x_A+x_B+2x_C}{4}=\frac{1+1+2(3)}{4}=2$
$y_I=\frac{y_A+y_B+2y_C}{4}=\frac{2-2+2(-10)}{4}=-5$
$z_I=\frac{z_A+z_B+2z_C}{4}=\frac{0+4+2(12)}{4}=7$
Suy ra $I(2;-5;7)$.
Ta có $M{A}^2+M{B}^2+2M{C}^2=4M{I}^2+I{A}^2+I{B}^2+2I{C}^2$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $MI$ ngắn nhất, tức $M$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên mặt phẳng $(P)$.
Đường thẳng qua $I$ vuông góc với $(P)$ có phương trình $x=2+t,y=-5-2t,z=7+2t$.
Thay vào phương trình $(P)$:
$(2+t)-2(-5-2t)+2(7+2t)+1=0\iff 9t+27=0\iff t=-3$
Suy ra $M(-1;1;1)$, tức $a=-1,b=1,c=1$.
Giá trị $2a+3b+c=2(-1)+3(1)+1=2$.