Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(\alpha )$ vuông góc với $\Delta :\frac{x}{1}=\frac{y}{-2}=\frac{z}{3}$ và $(\alpha )$ cắt trục $Ox$, trục $Oy$ và tia $Oz$ lần lượt tại $M,N,P$. Biết rằng thể tích khối tứ diện $OMNP$ bằng $6$. Mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua điểm nào sau đây?

Phương pháp: Vì $(\alpha )\perp \Delta$ nên $(\alpha )$ có VTPT là ${\vec{u}}_{\Delta }=(1;-2;3)$. Viết phương trình mặt phẳng $(\alpha ):x-2y+3z+D=0$. Tìm tọa độ $M,N,P$ theo $D$.
Cách giải: Giao điểm với các trục: $M(-D;0;0),N\left(0;\frac{D}{2};0\right),P\left(0;0;-\frac{D}{3}\right)$. Vì $P$ thuộc tia $Oz$ nên $-\frac{D}{3}>0\Rightarrow D<0$.
Thể tích tứ diện $V=\frac{1}{6}|x_M\cdot y_N\cdot z_P|=\frac{1}{6}\left|(-D)\cdot \frac{D}{2}\cdot \left(-\frac{D}{3}\right)\right|=\frac{|D{|}^3}{36}=6\Rightarrow |D{|}^3=216\Rightarrow D=-6$.
Phương trình $(\alpha ):x-2y+3z-6=0$. Thử điểm $B(1;-1;1)$ thỏa mãn phương án A.
Chọn A.