Trong không gian $Oxyz$, viết phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua $2$ điểm $M(-1;0;3),N(1;-1;-2)$ đồng thời vuông góc với mặt phẳng $(Q):2x+y+z-2022=0$?

Gọi $\vec{n}$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$.

Do mặt phẳng $(P)$ đi qua $2$ điểm $M(-1;0;3),N(1;-1;-2)$ đồng thời vuông góc với mặt phẳng $(Q):2x+y+z-2022=0$ nên ta có:

$\{\begin{array}{l}\vec{n}\perp \overrightarrow{MN}(2;-1;-5)\\ \vec{n}\perp {\vec{n}}_Q(2;1;1)\end{array}⟹\vec{n}=[\overrightarrow{MN},{\vec{n}}_Q]=(4;-12;4).$

Chọn ${\vec{n}}_1=(1;-3;1)$ là VTPT của $(P)$.

Khi đó $(P)$ đi qua $M$ và có VTPT ${\vec{n}}_1$ nên có phương trình: $x-3y+z-2=0$.