Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{x+2}{2}=\frac{y+1}{-3}=\frac{z}{1}$ và mặt cầu $(S):(x-2{)}^2+(y+1{)}^2+(z+1{)}^2=6$. Hai mặt phẳng $(P),(Q)$ chứa $d$ và tiếp xúc với $(S)$. Gọi $A,B$ là tiếp điểm và $I$ là tâm của mặt cầu $(S)$. Giá trị $\cos \widehat{AIB}$ bằng

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(2;-1;-1)$ và bán kính $R=\sqrt{6}$.
Gọi $K$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên đường thẳng $d$.
Vì $(P),(Q)$ tiếp xúc với $(S)$ tại $A,B$ và chứa $d$ nên $IA\perp (P)$ và $IB\perp (Q)$, do đó $IA\perp d$ và $IB\perp d$.
Suy ra $d\perp (IAB)$, do đó $K=d\cap (IAB)$ và $KA,KB$ là các tiếp tuyến kẻ từ $K$ đến $(S)$.
Điểm $K\in d⟹K(-2+2t;-1-3t;t)$.
$\overrightarrow{IK}=(2t-4;-3t;t+1)$. Đường thẳng $d$ có VTCP $\vec{u}=(2;-3;1)$.
$IK\perp d⟺\overrightarrow{IK}\cdot \vec{u}=0⟺2(2t-4)-3(-3t)+1(t+1)=0⟺14t-7=0⟺t=\frac{1}{2}$.
Suy ra $\overrightarrow{IK}=\left(-3;-\frac{3}{2};\frac{3}{2}\right)⟹I{K}^2=(-3{)}^2+{\left(-\frac{3}{2}\right)}^2+{\left(\frac{3}{2}\right)}^2=9+\frac{9}{4}+\frac{9}{4}=\frac{27}{2}$.
Trong tam giác vuông $IAK$ vuông tại $A$:
$\cos \widehat{AIK}=\frac{IA}{IK}=\frac{R}{IK}⟹{\cos }^2\widehat{AIK}=\frac{R^2}{I{K}^2}=\frac{6}{\frac{27}{2}}=\frac{12}{27}=\frac{4}{9}$.
Vì $\Delta IAK=\Delta IBK$ nên $IK$ là tia phân giác của $\widehat{AIB}$, tức là $\widehat{AIB}=2\widehat{AIK}$.
Theo công thức nhân đôi:
$\cos \widehat{AIB}=2{\cos }^2\widehat{AIK}-1=2\left(\frac{4}{9}\right)-1=\frac{8}{9}-1=-\frac{1}{9}$.