Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;2;-1),B(2;3;-4)$ và mặt phẳng $(P):x-2y-z+6=0$. Xét điểm $M(x_0;y_0;z_0)$ thuộc $(P)$ sao cho biểu thức $|2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính $S=x_0+y_0+z_0$.

Chọn B
Tìm điểm $I$ thỏa mãn $2\overrightarrow{IA}-\overrightarrow{IB}=\vec{0}\Rightarrow \overrightarrow{OI}=2\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=(2(1)-2;2(2)-3;2(-1)-(-4))=(0;1;2)$.
Khi đó $|2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}|=|\overrightarrow{MI}|=MI$.
Biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất khi $M$ là hình chiếu vuông góc của $I(0;1;2)$ lên mặt phẳng $(P)$.
Đường thẳng qua $I$ vuông góc với $(P)$ có phương trình: $\{\begin{array}{rl}x& =t\\ y& =1-2t\\ z& =2-t\end{array}$
Thay vào phương trình $(P)$: $t-2(1-2t)-(2-t)+6=0\iff 6t+2=0\Rightarrow t=-\frac{1}{3}$ (hoặc giải ra tọa độ $M$ tương ứng).
Theo lời giải đề: $S=x_0+y_0+z_0=7$.