Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai mặt cầu $(S_1):(x+4{)}^2+(y-1{)}^2+z^2=16$, $(S_2):(x+4{)}^2+(y-1{)}^2+z^2=36$ và điểm $A(6;3;0)$. Đường thẳng $d$ di động nhưng luôn tiếp xúc với $(S_1)$, đồng thời cắt $(S_2)$ tại hai điểm $B,C$. Tam giác $ABC$ có diện tích lớn nhất là

Mặt cầu $(S_1)$ có tâm $I(-4;1;0)$, bán kính $R_1=4$. Mặt cầu $(S_2)$ đồng tâm $I$, bán kính $R_2=6$.
Đường thẳng $d$ tiếp xúc $(S_1)$ tại $H$ nên $IH=R_1=4$ và $d\perp IH$.
Đường thẳng $d$ cắt $(S_2)$ tại $B,C$ nên $H$ là trung điểm của $BC$ và $BC=2\sqrt{R_2^2-I{H}^2}=2\sqrt{36-16}=2\sqrt{20}=4\sqrt{5}$. Độ dài $BC$ không đổi!
Diện tích tam giác $ABC$: $S_{ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot d(A,d)=2\sqrt{5}\cdot d(A,d)$.
Để $S_{ABC}$ lớn nhất thì khoảng cách $d(A,d)$ lớn nhất.
Ta có $IA=\sqrt{(6-(-4){)}^2+(3-1{)}^2+0^2}=\sqrt{10^2+2^2}=\sqrt{104}=2\sqrt{26}$.
Gọi hình chiếu của $A$ trên $d$ là $K$. Ta có $d(A,d)=AK\le AH\le IA+IH=2\sqrt{26}+4=2(\sqrt{26}+2)$.
Do đó $S_{max}=2\sqrt{5}\cdot 2(\sqrt{26}+2)=4\sqrt{5}(\sqrt{26}+2)$.



Chọn đáp án A.