Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{x-2}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-1}{2}$ và mặt cầu $(S):(x-3{)}^2+(y-1{)}^2+(z+1{)}^2=4$. Hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ chứa đường thẳng $d$ và tiếp xúc với mặt cầu $(S)$ lần lượt tại các tiếp điểm là $M$ và $N$. Độ dài đoạn thẳng $MN$ bằng:

**Chọn D**
Mặt cầu ( S ) có tâm I ( 3;1; −1) , bán kính R = 2 .

Đường thẳng d đi qua điểm A ( 2; −1;1) và có một vectơ chỉ phương là ud = ( 2;1; 2 )
Xét mặt phẳng thiết diện đi qua tâm I , điểm M , N và cắt d tại H .
Khi đó d ( I , d ) = IH .

Ta có: IA = ( −1; −2; 2 ) .

ud = ( 2;1; 2 )
 
⇒  IA, ud  = ( −6;6;3)
 
 IA, ud  ( −6 ) + 62 + 32
2
 
⇒ d (I , d ) = IH =  = 3.
=
ud 22 + 12 + 22

⇒ IH =3, IM =IN =R =2 ⇒ MH = 32 − 22 = IH 2 − IM 2 = 5 .
Gọi O là trung điểm của MN . Khi đó:
MH .IM 2 5 4 5
MO = = ⇒ MN = 2 MO = .
IH 3 3