Cho hàm số f ( x ) = (1 − m3 ) x3 + 3 x 2 + ( 4 − m ) x + 2 . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m
thuộc [ −100;100] sao cho f ( x ) ≥ 0 với mọi giá trị x ∈ [3;5] .

**Chọn D**
TXĐ: D =  .
f ′ ( x )= 3 (1 − m3 ) x 2 + 6 x + 4 − m= 3 x 2 + 6 x + 4 − m ( 3m 2 x 2 + 1) .
Ta thấy: 3 x 2 + 6 x + 4 > 0, ∀x ∈ .
Điều kiện cần:

27 (1 − m ) + 27 + 3 ( 4 − m ) + 2 ≥ 0

 f ( 3) ≥ 0
3
−27 m − 3m + 68 ≥ 0
3

 ⇔ ⇔ .
 f ( 5 ) ≥ 0 125 (1 − m ) + 75 + 5 ( 4 − m ) + 2 ≥ 0
3
3
−125m − 5m + 222 ≥ 0
 Vì m ∈ [ −100,100] và m ∈  nên m ∈ {−100, −99, −98,..., 0,1} .
Điều kiện đủ:
Nếu m = 1 thì f ( x=
) 3x 2 + 3x + 2 ≥ 0 , ∀x ∈  .
Do đó, m = 1 (Nhận).
( )
Nếu m ≤ 0 thì −m 3m 2 x 2 + 1 ≥ 0, ∀x ∈ 
⇒ f ′ ( x ) > 0, ∀x ∈  ⇒ Hàm số f đồng biến trên  .
Do đó, m ≤ 0 (Nhận).
Vậy có 102 giá trị nguyên m thoả mãn yêu cầu bài.