Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2=2024$. Hỏi có bao nhiêu điểm $M(a;b;c),a+b+c>0$ thuộc mặt cầu $(S)$ sao cho tiếp diện của $(S)$ tại $M$ cắt các trục $Ox,Oy,Oz$ lần lượt tại $A,B,C$ có thể tích tứ diện $OABC$ là nhỏ nhất?

Tiếp diện của $(S)$ tại $M(a;b;c)\in (S)$ có phương trình $ax+by+cz=2024$. Tọa độ giao điểm là $A\left(\frac{2024}{a};0;0\right),B\left(0;\frac{2024}{b};0\right),C\left(0;0;\frac{2024}{c}\right)$. Thể tích tứ diện là $V=\frac{1}{6}OA\cdot OB\cdot OC=\frac{1}{6}\frac{2024^3}{|abc|}$. Thể tích nhỏ nhất khi $|abc|$ lớn nhất. Theo bất đẳng thức Cauchy: $|abc|\le {\left(\frac{a^2+b^2+c^2}{3}\right)}^{3/2}={\left(\frac{2024}{3}\right)}^{3/2}$. Dấu bằng xảy ra khi $a^2=b^2=c^2=\frac{2024}{3}\Rightarrow |a|=|b|=|c|=\sqrt{\frac{2024}{3}}$. Các bộ dấu của $(a,b,c)$ thỏa mãn $a+b+c>0$ gồm: $(+,+,+)$ (1 điểm) và các hoán vị có hai dấu cộng, một dấu trừ $(+,+,-),(+,-,+),(-,+,+)$ (3 điểm). Tổng cộng có $1+3=4$ điểm thỏa mãn. Chọn D.