Trong mặt phẳng tọa độ, một điểm được gọi là điểm nguyên nếu cả hoành độ và tung độ của nó đều là các số nguyên. Có thể chọn được tối đa bao nhiêu điểm nguyên trong mặt phẳng tọa độ, sao cho đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ trong chúng chứa đúng 2026 điểm nguyên?

(AI giải đề cho tôi)
Với hai điểm nguyên $A(x_1,y_1)$, $B(x_2,y_2)$, số điểm nguyên trên đoạn $AB$ (tính cả hai đầu) bằng $\gcd (|\Delta x|,|\Delta y|)+1$ với $\Delta x=x_1-x_2,\Delta y=y_1-y_2$. Yêu cầu đoạn thẳng chứa đúng 2026 điểm nguyên tương đương
$$\gcd (|\Delta x|,|\Delta y|)+1=2026⟺\gcd (|\Delta x|,|\Delta y|)=2025.$$

**Bước 1: mọi điểm đã chọn cùng một lớp thặng dư mô-đun 2025.**
Vì với mọi cặp điểm đều có $2025\mid \Delta x$ và $2025\mid \Delta y$, cố định một điểm $P_0$; mọi điểm $P$ của tập đều có $P\equiv P_0(\mathrm{mod}2025)$ theo cả hai tọa độ. Viết $P=P_0+2025Q$ với $Q=(a,b)$ nguyên.

Với hai điểm ứng với $Q_i=(a_i,b_i)$, $Q_j=(a_j,b_j)$:
$$\gcd (|\Delta x|,|\Delta y|)=2025\cdot \gcd (|a_i-a_j|,|b_i-b_j|).$$
Do đó điều kiện cần và đủ là
$$\gcd (|a_i-a_j|,|b_i-b_j|)=1\text{với mọi cặp }i\ne j.\text{\hspace{1em}(*)}$$

**Bước 2: chặn trên — tập các điểm $Q$ thỏa (*) có nhiều nhất 4 điểm.**
Xét 5 điểm $Q_1,\dots ,Q_5$ thỏa (*). Theo mô-đun 2, mỗi điểm $Q$ có một cặp số dư $(a\mathrm{mod}2,b\mathrm{mod}2)$ trong 4 khả năng $(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)$. Theo Dirichlet, có hai điểm $Q_i,Q_j$ cùng cặp số dư, tức $2\mid (a_i-a_j)$ và $2\mid (b_i-b_j)$, suy ra $\gcd (|a_i-a_j|,|b_i-b_j|)\ge 2$, mâu thuẫn với (*). Vậy chọn được nhiều nhất 4 điểm.

**Bước 3: xây dựng đạt 4 điểm.**
Chọn $S=\{(0,0),(2025,0),(0,2025),(2025,2025)\}$, tức $Q\in \{(0,0),(1,0),(0,1),(1,1)\}$.

Kiểm tra mọi cặp:
- $(0,0)$ và $(2025,0)$: $\gcd (2025,0)=2025$; tương tự với $(0,2025)$.
- $(0,0)$ và $(2025,2025)$: $\gcd (2025,2025)=2025$.
- $(2025,0)$ và $(0,2025)$: $\gcd (2025,2025)=2025$.
- $(2025,0)$ và $(2025,2025)$: $\gcd (0,2025)=2025$; tương tự $(0,2025)$ và $(2025,2025)$.

Vậy mỗi đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ chứa đúng $2025+1=2026$ điểm nguyên.

**Kết luận:** Có thể chọn được tối đa $\boxed{4}$ điểm nguyên thỏa mãn.

**Nhận xét:** Nếu đọc đề theo cách "đoạn thẳng chứa đúng 2026 điểm nguyên nằm bên trong (không kể hai đầu mút)" thì điều kiện là $\gcd (|\Delta x|,|\Delta y|)=2027$ (2027 là số nguyên tố). Lập luận hoàn toàn tương tự: mọi điểm cùng lớp thặng dư mô-đun 2027, đặt $P=P_0+2027Q$ thì cần $\gcd (|a_i-a_j|,|b_i-b_j|)=1$ với mọi cặp; chặn trên bằng lập luận mô-đun 2 (5 điểm cho 4 lớp parity) và cách xây dựng $\{(0,0),(2027,0),(0,2027),(2027,2027)\}$ (mọi cặp đều có gcd đúng bằng 2027, ví dụ $\gcd (2027,2027)=2027$, $\gcd (2027,0)=2027$) cũng cho đáp số 4. Vậy cả hai cách hiểu đều cho đáp số 4.