Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, điểm $M(x;y)$ biểu diễn nghiệm của phương trình ${\log }_3(9x+18)+x=y+3^y$. Có bao nhiêu điểm $M$ tọa độ nguyên thuộc hình tròn tâm $O$ bán kính $R=7$?

Điều kiện: $9x+18>0⟺x>-2$.
Phương trình biến đổi thành:
${\log }_3[9(x+2)]+x=y+3^y⟺2+{\log }_3(x+2)+x=y+3^y$
$⟺{\log }_3(x+2)+(x+2)=y+3^y$.
Đặt $t={\log }_3(x+2)⟹x+2=3^t$.
Phương trình trở thành: $t+3^t=y+3^y$.
Xét hàm số $g(u)=u+3^u$ có $g^{\prime }(u)=1+3^u\ln 3>0,\forall u⟹g(u)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Do đó: $t=y⟺{\log }_3(x+2)=y⟺x+2=3^y⟺x=3^y-2$.
Điểm $M(x;y)$ thuộc hình tròn tâm $O$ bán kính $R=7$ nên:
$x^2+y^2\le 49⟹x\le 7$.
Kết hợp điều kiện $x>-2$ và $x\in \mathbb{Z}⟹-1\le x\le 7$.
Vì $x+2=3^y$ nên $1\le 3^y\le 9⟺0\le y\le 2$.
Vì $y\in \mathbb{Z}$, ta xét các trường hợp:
- Với $y=0⟹x=3^0-2=-1⟹M(-1;0)$. Kiểm tra $(-1{)}^2+0^2=1\le 49$ (thỏa mãn).
- Với $y=1⟹x=3^1-2=1⟹M(1;1)$. Kiểm tra $1^2+1^2=2\le 49$ (thỏa mãn).
- Với $y=2⟹x=3^2-2=7⟹M(7;2)$. Kiểm tra $7^2+2^2=49+4=53>49$ (loại).
Vậy có đúng 2 điểm $M$ có tọa độ nguyên thỏa mãn yêu cầu là $(-1;0)$ và $(1;1)$.