Với $n$ là số nguyên dương, xét các số thực dương $a_0,a_1,\dots ,a_n$ thỏa mãn các điều kiện: $a_0$ là một số nguyên, $$\sum _{i=1}^n\frac{1}{a_i}\le 1$$ và $a_i\le a_{i-1}+1$ với mọi $i\in \{1,2,\dots ,n\}$.

a) Chứng minh rằng $n\le 2a_0$.

b) Tìm hằng số $C$ nhỏ nhất để $n\le C{a}_0{\sum }_{i=1}^n\frac{1}{a_i}$ với mọi $n\ge 1$.

Vì $a_0$ là số nguyên dương nên $a_0\ge 1$. Từ giả thiết $a_i\le a_{i-1}+1$, bằng quy nạp ta có $a_i\le a_0+i$ với mọi $i$.

a) Giả sử ngược lại rằng $n\ge 2a_0+1$. Khi đó

$$1\ge \sum _{i=1}^n\frac{1}{a_i}\ge \sum _{i=1}^{2a_0+1}\frac{1}{a_i}\ge \sum _{i=1}^{2a_0+1}\frac{1}{a_0+i}\ge \frac{(2a_0+1{)}^2}{{\sum }_{i=1}^{2a_0+1}(a_0+i)}=1$$

Tuy nhiên trong bất đẳng thức trên dấu bằng không xảy ra, do đó mâu thuẫn hay $n\le 2a_0$.

b) Ta có ${\sum }_{i=1}^n\frac{1}{a_i}\ge {\sum }_{i=1}^n\frac{1}{a_0+i}\ge \frac{n^2}{{\sum }_{i=1}^n(a_0+i)}=\frac{n}{a_0+\frac{n+1}{2}}$ nên $\frac{n}{a_0{\sum }_{i=1}^n\frac{1}{a_i}}\le 1+\frac{n+1}{2a_0}$.

Nếu $a_0\ge 2$, theo câu trên ta có $n\le 2a_0$, do đó $\frac{n}{a_0{\sum }_{i=1}^n\frac{1}{a_i}}\le 2+\frac{1}{2a_0}\le \frac{9}{4}<\frac{12}{5}$.

Xét $a_0=1$. Khi đó $n\le 2$.

Nếu $n=1$, vì $a_1\le 2$ nên $\frac{n}{a_0{\sum }_{i=1}^n\frac{1}{a_i}}=a_1\le 2<\frac{12}{5}$.

Nếu $n=2$, ta có $a_1\le 2$ và $a_2\le a_1+1\le 3$. Bởi vậy $\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}\ge \frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{5}{6}$ suy ra

$$\frac{n}{a_0{\sum }_{i=1}^n\frac{1}{a_i}}\le \frac{2}{5/6}=\frac{12}{5}.$$

Như vậy, với mọi dãy thỏa mãn giả thiết, ta đều có $n\le \frac{12}{5}{a}_0{\sum }_{i=1}^n\frac{1}{a_i}$.

Cuối cùng, chọn $a_0=1$, $a_1=2$, $a_2=3$ để thấy hằng số nhỏ nhất là $C=\frac{12}{5}$.