Xét ba số phức z1 , z2 , w thỏa mãn  z1  3i  i.z1  iz1  8  là số thực, z2  z2  2  2i ,
z2  7  i
12
là một số thực dương và | w  7  i | . Giá trị nhỏ nhất của biều thức z1  w thuộc
z2  7  i
khoàng nào sau đây?

**Chọn D**

Giả sử z1  x  yi ( x, y  R ) , ta có:
 z1  3i  i.z1  i.z1  8  [ x  ( y  3)i][8  2 xi]  m   2 x 2  8( y  3)  i.
x2
Do  z1  3i  i.z1  iz1  8  là số thực  2 x 2  8  y  3  0  y   3(P) .
4
x2
Do đó tập hợp các điềm biểu diễn cùa z1 là parabol  P  : y  3.
4
Giả sử z2  a  bi, w  x1  y1i,  x1 , y1 , a, b    , ta có:
z2  z2  2  2i  a 2  b 2  (a  2) 2  (b  2) 2  a  b  2 (1)
w7i
 k (k  , k  0)  w  k  z2  7  i   7  i  (ka  7 k  7)  (kb  k  1)i
z2  7  i
Từ (1) suy ra w  (ka  7 k  7)  (ka  k  1)i  x1  ka  7 k  7; y1  ka  k  1
12 2
| w  7  i |  k z2  7  i  12  (ka  7 k ) 2  (kb  k ) 2  12k
z2  7  i
  x1  7    y1  1  12k   x1  6   y 2  14  2 x1  2 y1  12k   0
2 2 2

Vì 14  2 x1  2 y1  12k  14  2(6k  8)  12k  2 nên  x1  6   y12  2 (C ) .
2

Do đó tập hơp các điểm biĉ̉u diễn của w là đường tròn (C ) .
Bài toán trở thành tìm M ( x, y )  ( P), N  (C ) sao cho MN bé nhất.
Ta có MN  MI  IN  MI  2 với I (6;0) là tâm đường tròn (C ) .
Do đó MN bé nhất khi và chỉ khi MI bé nhất.
2
 x2 
MI  ( x  6)    3  .
2 2

 4 
2
 x2  x3
Đặt f  x   ( x  6)    3   f   x    5 x  12  f   x   0  x  2.
2

 4  4

2
 x2 
MI  ( x  6)    3   32  MI  4 2  MN  3 2  4.25   4;5  .
2 2

 4 