Xét được tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của nó:

a) $f(x)=x^3-x^2+8x$.

b) $f(x)=\frac{x^2}{x^2-3x}$.

c) $f(x)=\frac{\sin x+1}{x+1}$.

d) $f(x)=\sqrt{x-2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 15: Xét tính liên tục trên tập xác định.

a) $f(x)=x^3-x^2+8x$ là hàm đa thức, tập xác định $D=\mathbb{R}$. Hàm đa thức liên tục trên toàn trục thực, nên $f$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

b) $f(x)=\frac{x^2}{x^2-3x}=\frac{x^2}{x(x-3)}$, tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{0;3\}$. Trên $D$, hàm là thương của hai hàm liên tục với mẫu khác 0, nên $f$ liên tục trên mọi khoảng của $D$, tức liên tục trên tập xác định của nó (điểm $x=0$ và $x=3$ không thuộc tập xác định nên không cần xét).

c) $f(x)=\frac{\sin x+1}{x+1}$, tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$. Trên $D$, tử số $\sin x+1$ liên tục và mẫu $x+1\ne 0$, nên $f$ liên tục trên tập xác định của nó. (Tại $x=-1$ không thuộc tập xác định; lưu ý ${\lim }_{x\to -1}\frac{\sin x+1}{x+1}=\cos (-1)\approx 0,54$ tồn tại nhưng hàm không xác định tại đó.)

d) $f(x)=\sqrt{x-2}$, tập xác định $D=[2;+\infty )$. Hàm $\sqrt{u}$ liên tục với $u\ge 0$ và $x-2$ liên tục, nên $f$ liên tục trên $[2;+\infty )$: với mọi $x_0>2$ do hàm căn liên tục tại điểm dương; tại $x_0=2$, ${\lim }_{x\to 2^{+}}\sqrt{x-2}=0=f(2)$, nên liên tục phải tại $x=2$. Vậy $f$ liên tục trên tập xác định $[2;+\infty )$.

Kết luận: cả bốn hàm số đều liên tục trên tập xác định của chúng.