Xét tất cả các số phức $z$ thay đổi nhưng luôn thoả mãn $|z+4|+|z-4|=10$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=|(1+i)z-4+4i|$ bằng:

Gọi $M(x;y)$ là điểm biểu diễn số phức $z=x+yi$. Ta có $|z+4|+|z-4|=10\iff M{F}_1+M{F}_2=10$ với $F_1(-4;0)$ và $F_2(4;0)$. Do $2c=8\Rightarrow c=4$ và $2a=10\Rightarrow a=5$, nên tập hợp điểm $M$ là elip $(E):\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$.
Biểu thức $P=|(1+i)z-4+4i|=|1+i|\cdot \left|z-\frac{4-4i}{1+i}\right|=\sqrt{2}|z+4i|=\sqrt{2}MI$ với $I(0;-4)$. Khoảng cách nhỏ nhất từ điểm $I(0;-4)$ đến một điểm $M(x;y)\in (E)$ được xác định bởi $M{I}^2=x^2+(y+4{)}^2=25\left(1-\frac{y^2}{9}\right)+y^2+8y+16=-\frac{16}{9}{y}^2+8y+41$ với $y\in [-3;3]$. Hàm số $g(y)=-\frac{16}{9}{y}^2+8y+41$ có đỉnh tại $y=\frac{9}{4}\in [-3;3]$. Tại hai đầu mút $y=-3\Rightarrow g(-3)=1$, $y=3\Rightarrow g(3)=49$. Do đó ${\min }_{[-3;3]}M{I}^2=1$ khi $y=-3$ (tại $M(0;-3)$). Suy ra $M{I}_{\min }=1\Rightarrow P_{\min }=\sqrt{2}\cdot 1=\sqrt{2}$. Chọn C.