Xét tất cả các số thực dương $x,y$ thỏa mãn $\frac{x+y}{10}+\log \left(\frac{1}{2x}+\frac{1}{2y}\right)=1+2xy$. Khi biểu thức $\frac{4}{x^2}+\frac{1}{y^2}$ đạt giá trị nhỏ nhất, tích $xy$ bằng

Phương pháp: Đặt ẩn phụ và sử dụng phương pháp hàm số để tìm mối quan hệ giữa $x$ và $y$.
Cách giải: Biến đổi phương trình mũ - logarit, sử dụng tính đơn điệu của hàm số tìm được $x+2y=1$. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz tìm GTNN của $\frac{4}{x^2}+\frac{1}{y^2}$, dấu bằng xảy ra khi $xy=\frac{1}{64}$.
Chọn C.