Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng:

a) $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{x^3+x+2}{x^3+1}& khix\ne -1\\ \frac{4}{3}& khix=-1\end{array}$ ;

b) $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2-3x+4& khix<2\\ 5& khix=2\\ 2x+1& khix>2\end{array}$

(AI giải đề cho tôi)
Câu 133.

a) Tập xác định: $D=\mathbb{R}$ (mẫu $x^3+1\ne 0$ khi $x\ne -1$, và tại $x=-1$ hàm được định nghĩa $f(-1)=\frac{4}{3}$).

Với $x\ne -1$, hàm số là hàm phân thức nên liên tục. Xét tại $x=-1$:
$$\underset{x\to -1}{\lim }f(x)=\underset{x\to -1}{\lim }\frac{x^3+x+2}{x^3+1}=\underset{x\to -1}{\lim }\frac{(x+1)(x^2-x+2)}{(x+1)(x^2-x+1)}=\underset{x\to -1}{\lim }\frac{x^2-x+2}{x^2-x+1}=\frac{1+1+2}{1+1+1}=\frac{4}{3}.$$

Vì ${\lim }_{x\to -1}f(x)=\frac{4}{3}=f(-1)$ nên hàm số liên tục tại $x=-1$. Kết luận: hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$.

b) Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.

Trên mỗi khoảng $(-\infty ;2)$ và $(2;+\infty )$, hàm số là hàm đa thức nên liên tục. Xét tại $x=2$:
$$\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }(x^2-3x+4)=4-6+4=2,$$
$$\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }(2x+1)=5.$$

Vì ${\lim }_{x\to 2^{-}}f(x)\ne {\lim }_{x\to 2^{+}}f(x)$ nên ${\lim }_{x\to 2}f(x)$ không tồn tại, do đó hàm số không liên tục tại $x=2$ (dù $f(2)=5={\lim }_{x\to 2^{+}}f(x)$).

Kết luận: hàm số liên tục trên các khoảng $(-\infty ;2)$ và $(2;+\infty )$, gián đoạn tại $x=2$.