Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra:

a) $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{x+3}{x-1}& khix\ne 1\\ -1& khix=1\end{array}$ (tại $x=1$)

b) $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}& khix\ne 1\\ \frac{1}{4}& khix=1\end{array}$ (tại $x=1$)

(AI giải đề cho tôi)
Câu 131. Xét tính liên tục tại $x=1$.

a) $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{x+3}{x-1},& x\ne 1\\ -1,& x=1\end{array}$

- $f(1)=-1$ (đã định nghĩa).
- Tính giới hạn: $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x+3}{x-1}$. Khi $x\to 1^{+}$, mẫu $x-1\to 0^{+}$, tử $x+3\to 4>0$ nên $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{x+3}{x-1}=+\infty$. Khi $x\to 1^{-}$, mẫu $x-1\to 0^{-}$, tử dương nên $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{x+3}{x-1}=-\infty$.
- Giới hạn trái và giới hạn phải đều không tồn tại (vô cực), do đó $\underset{x\to 1}{\lim }f(x)$ không tồn tại.

Kết luận: $f$ không liên tục tại $x=1$ (điểm $x=1$ là điểm gián đoạn loại hai, có tiệm cận đứng $x=1$).

b) $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1},& x\ne 1\\ \frac{1}{4},& x=1\end{array}$

- $f(1)=\frac{1}{4}$.
- Tính giới hạn (dạng $\frac{0}{0}$), nhân liên hợp:
$$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{(x+3)-4}{(x-1)\left(\sqrt{x+3}+2\right)}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{1}{\sqrt{x+3}+2}=\frac{1}{\sqrt{4}+2}=\frac{1}{4}.$$
- Vì $\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=\frac{1}{4}=f(1)$, nên $f$ liên tục tại $x=1$.

Tóm lại: a) không liên tục tại $x=1$; b) liên tục tại $x=1$.