Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn
$$xf(2x+xy)=xf(x)+f\left(x^2\right)f(y+1),\forall x,y\in \mathbb{R}.$$

Xét dãy số $(a_n)$ xác định bởi: $a_0=0$, $a_1=1$, $a_2=2$, $a_3=6$ và
$$a_{n+4}=2a_{n+3}+a_{n+2}-2a_{n+1}-a_n\text{với mọi}n\ge 0.$$
a) Chứng minh rằng $a_n$ chia hết cho $n$ với mọi số nguyên dương $n$.
b) Với mỗi số nguyên dương $m$, kí hiệu $\phi (m)$ là số các số nguyên dương không vượt quá $m$ và nguyên tố cùng nhau với $m$. Chứng minh rằng $\phi \left(\frac{a_{2027}}{2027}\right)$ là một số chia hết cho 4.

Cho tứ giác $ABCD$ không phải hình thang, nội tiếp đường tròn tâm $O$. Gọi $M$ là trung điểm của $CD$; $F$ là giao điểm của $AD$ và $BC$. Các tiếp tuyến tại $C$ và $D$ của đường tròn $(FCD)$ cắt nhau tại $S$. Gọi $P$ là giao điểm $SF$ và $CD$; $E$ là giao điểm của $AC$ và $BD$; $H$ là hình chiếu của $E$ trên $SF$; $K$ là giao điểm thứ hai của hai đường tròn $(ABE)$ và $(CDE)$.
a) Chứng minh rằng các điểm $K,P,M,H$ cùng nằm trên một đường tròn, kí hiệu là $(\omega )$.
b) Tiếp tuyến tại $P$ của đường tròn $(\omega )$ cắt đường tròn $(CDE)$ tại $X,Y$. Gọi $Q$ là giao điểm thứ hai của $KP$ với đường tròn $(CDE)$. Chứng minh rằng $EQ$ là tia phân giác của $\widehat{XEY}$.