Đề Chọn Đội Tuyển HSG Quốc Gia 2026-2027 (Sở GD&ĐT TP Cần Thơ, khóa ngày 20/8/2026)

Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng
$$9\left(a^{3}b+b^{3}c+c^{3}a\right)+1\ge 4\left(ab+bc+ca\right).$$

Cho dãy số $\left(x_n\right)$ xác định bởi: $x_0=0,x_1=1$ và $x_{n+2}=5x_{n+1}-x_n,\forall n\in \mathbb{N}$.

a) Chứng minh rằng biểu thức $\frac{x_{2n}}{x_n}$ là một số nguyên với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ và $21x_n^2+4$ là một số chính phương với mọi số tự nhiên $n$.

b) Tìm tất cả các số nguyên $n\ge 0$ sao cho biểu thức $B_n=21x_n^2+3$ là một số nguyên tố.

Cho đa thức $P(x)=x^n+a_1{x}^{n-1}+\dots +a_{n-1}x+a_n$, với $a_1,a_2,a_3,\dots ,a_n$ là các số thực và $n$ là số nguyên dương lẻ. Biết rằng $P(0)+P(1)=0$ và $P(x)$ có $n$ nghiệm thực $r_1,r_2,\dots ,r_n$ thuộc $\left[0;1\right]$. Tìm giá trị lớn nhất của $Q=\prod _{i=1}^n{r}_i$ theo $n$.

Cho số nguyên dương $a>1$ thỏa mãn $(a-1{)}^3+a^3+(a+1{)}^3$ là lập phương một số nguyên. Chứng minh rằng $a$ chia hết cho 4.

Sau khi thi tốt nghiệp trung học phổ thông, các em học sinh khối 12 của trường trung học phổ thông A đã hẹn nhau mỗi năm họp mặt một lần vào ngày hội trại của trường. Tuy nhiên qua 10 lần họp mặt thì nhận thấy mỗi lần họp mặt chỉ có đúng 20 thành viên tham dự và 2 lần họp mặt bất kỳ trong 10 lần họp mặt không có chung quá 2 thành viên. Hỏi khối 12 năm học đó của trường trung học phổ thông A có ít nhất bao nhiêu học sinh?

Cho nửa đường tròn $(O)$, đường kính $AB$. $C$ là điểm trên nửa đường tròn sao cho $CA<CB$. Tiếp tuyến $Ax$ của $(O)$ cắt $BC$ tại $M$. Tiếp tuyến của $(O)$ tại $B,C$ cắt nhau tại $N$. Gọi $F$ là giao điểm của $AN$ và $BM$, $D$ là giao điểm thứ hai của $AN$ và $(O)$. Đường thẳng $d$ đi qua $M$, song song với $AB$, cắt $OC$ tại $I$. Đường thẳng $d^{\prime }$ đi qua $N$, song song với $AB$, cắt $OD$ tại $J$. Gọi $E$ là giao điểm của $MN$ và $OF$.

a) Chứng minh rằng $MD$ là tiếp tuyến của $(O)$ và ba điểm $I,J,E$ thẳng hàng.

b) Chứng minh rằng $C,D,E,F$ cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm của đường tròn đó.