Cho nửa đường tròn $(O)$, đường kính $AB$. $C$ là điểm trên nửa đường tròn sao cho $CA<CB$. Tiếp tuyến $Ax$ của $(O)$ cắt $BC$ tại $M$. Tiếp tuyến của $(O)$ tại $B,C$ cắt nhau tại $N$. Gọi $F$ là giao điểm của $AN$ và $BM$, $D$ là giao điểm thứ hai của $AN$ và $(O)$. Đường thẳng $d$ đi qua $M$, song song với $AB$, cắt $OC$ tại $I$. Đường thẳng $d^{\prime }$ đi qua $N$, song song với $AB$, cắt $OD$ tại $J$. Gọi $E$ là giao điểm của $MN$ và $OF$.

a) Chứng minh rằng $MD$ là tiếp tuyến của $(O)$ và ba điểm $I,J,E$ thẳng hàng.

b) Chứng minh rằng $C,D,E,F$ cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm của đường tròn đó.