Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng
$$9\left(a^{3}b+b^{3}c+c^{3}a\right)+1\ge 4\left(ab+bc+ca\right).$$

Theo bất đẳng thức Cauchy–Schwarz, ta có $\frac{a^2}{c}+\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}\ge \frac{(a+b+c{)}^2}{a+b+c}=1$ nên $a^{3}b+b^{3}c+c^{3}a\ge abc$.
Mặt khác, bất đẳng thức Schur bậc ba ta có $(a+b+c{)}^3+9abc\ge 4(a+b+c)(ab+bc+ca)$.
Vì $a+b+c=1$, suy ra $1+9abc\ge 4(ab+bc+ca)$. Từ đó ta suy ra được:
$$9(a^{3}b+b^{3}c+c^{3}a)+1\ge 9abc+1\ge 4(ab+bc+ca).$$