Cho số nguyên dương $a>1$ thỏa mãn $(a-1{)}^3+a^3+(a+1{)}^3$ là lập phương một số nguyên. Chứng minh rằng $a$ chia hết cho 4.

Ta có $(a-1{)}^3+a^3+(a+1{)}^3=3a(a^2+2)$. Giả sử $3a(a^2+2)=m^3$ với $m$ nguyên dương.
Trước hết, ta chứng minh $a$ chẵn. Giả sử ngược lại $a$ lẻ. Khi đó $\gcd (a,a^2+2)=\gcd (a,2)=1$.
Ta xét hai trường hợp:
- Nếu $3\mid a$ thì $a^2+2\equiv 2(\mathrm{mod}3)$, do đó $\gcd (3a,a^2+2)=1$ nên $3a$ và $a^2+2$ đều phải là lập phương. Nhưng $a^2+2\equiv 2(\mathrm{mod}9)$, trong khi các số lập phương modulo 9 chỉ có thể đồng dư với $0,1,8$.
Vì vậy trường hợp này không xảy ra.
- Nếu $3\nmid a$ thì $\gcd (a,3(a^2+2))=1$. Khi đó tồn tại các số nguyên dương $u,v$ sao cho
$$a=u^3,3(a^2+2)=v^3.$$
Vì $3\nmid u$, ta có $a=u^3\equiv \pm 1(\mathrm{mod}9)$, nên $a^2+2\equiv 3(\mathrm{mod}9)$, do đó $3\mid v_3\left(3(a^2+2)\right)=2$, vô lý.
Vậy $a$ chẵn. Nếu $a\equiv 2(\mathrm{mod}4)$, viết $a=2u$ với $u$ lẻ. Khi đó $a^2+2=2(2u^2+1)$ và $2u^2+1$ là số lẻ.
Suy ra $3\mid v_2\left(3a(a^2+2)\right)=v_2(3a)+v_2(a^2+2)=1+1=2$, vô lý.
Vì vậy $a$ chia hết cho 4.