Trong không gian $Oxyz$, cho vật thể $T$ giới hạn bởi hai mặt phẳng có phương trình $x=a$ và $x=b$ ($a<b$). Cắt vật thể $T$ bởi một mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ bằng $x$ ($a\le x\le b$), ta được thiết diện có diện tích bằng $S(x)$. Khi $S(x)$ là một hàm liên tục trên đoạn $[a;b]$, thể tích $V$ của vật thể $T$ được tính theo công thức nào sau đây?
[IMAGE_1]

Trong không gian $Oxyz$, phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu?

Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=e^x$ thỏa mãn $F(0)=2$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Cho hai biến cố $A$ và $B$ có $P(A)=0,5$, $P(B)=0,8$ và $P(AB)=0,2$. Xác suất của biến cố $A$ với điều kiện $B$ là

Trong không gian $Oxyz$, phương trình đường thẳng đi qua điểm $M(1;-2;5)$ và có một véc tơ chỉ phương $\vec{u}=(2;1;-1)$ là

Trong không gian $Oxyz$, khoảng cách từ điểm $A(-2;2;0)$ đến mặt phẳng $(P):x-2y+2z-3=0$ là

Trong một công viên, người ta xây dựng một hồ nước với hình dạng giới hạn bởi hai đường cong $y=\sqrt{x}$ và $y=\frac{1}{\sqrt{1000}}{x}^2$. Hãy tính diện tích mặt hồ (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).
[IMAGE_1]

Một tiểu hành tinh nhỏ (coi như một hạt) được phát hiện đang bay theo chuyển động thẳng đều trong không gian $Oxyz$ với $O$ là tâm Trái Đất. Tại thời điểm $t=0$, tiểu hành tinh ở vị trí $A(10000;5000;8000)\text{ km}$, tiểu hành tinh bay theo hướng véc tơ $\vec{v}=(-200;-100;-160)\text{ km/h}$. Coi bề mặt Trái Đất là mặt cầu với bán kính $6371\text{ km}$.
[IMAGE_1]

Giả sử rằng khi $t$ năm tuổi, một máy công nghiệp A tạo ra doanh thu với tốc độ $R^{\prime }(t)=783-3t^2$ (triệu đồng/năm), thời điểm $t=0$ tính từ lúc máy A bắt đầu hoạt động, ở đây $R(t)$ là doanh thu của máy A khi nó được $t$ năm tuổi. Biết rằng chi phí biên cho vận hành và bảo trì là $C^{\prime }(t)=48+12t^2$ (triệu đồng/năm).

Đồ thị các đường $y=x^2$; $y=-x$; $x=3$ cho bởi hình vẽ dưới đây. Gọi $S_1$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=-x$, trục hoành và hai đường thẳng $x=0,x=3$. Gọi $S_2$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=x^2$, trục hoành và hai đường thẳng $x=0,x=3$.
[IMAGE_1]

Trong kỳ kiểm tra môn Toán của một trường THPT có $400$ học sinh tham gia, trong đó có $180$ học sinh nam và $220$ học sinh nữ. Khi công bố kết quả kỳ kiểm tra đó, tỉ lệ học sinh đạt điểm giỏi tương ứng với nam và nữ lần lượt là $30\%$ và $15\%$. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong số $400$ học sinh đó.
Gọi $A$ là biến cố "Học sinh được chọn ra đạt điểm giỏi".
Gọi $B$ là biến cố "Học sinh được chọn ra là học sinh nữ".

Một huyện đang triển khai chương trình sàng lọc phát hiện bệnh hiểm nghèo X cho người dân. Không có loại xét nghiệm nào cho kết quả chính xác $100\%$. Một loại xét nghiệm, ta gọi là xét nghiệm A, cho kết quả như sau: Khi một người bị bệnh X thì tỉ lệ có phản ứng dương tính trong xét nghiệm A là $95\%$, còn người không mắc bệnh X thì tỷ lệ có phản ứng âm tính trong xét nghiệm A là $97\%$. Biết rằng tỉ lệ người mắc bệnh X của huyện này là $0,5\%$. Hỏi khi một người ở huyện X có xét nghiệm dương tính với xét nghiệm A thì xác suất để người đó mắc bệnh hiểm nghèo X là bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Một nhóm học sinh có $5$ nam và $7$ nữ tham gia lao động trên sân trường. Cô giáo chọn ngẫu nhiên đồng thời $3$ bạn trong nhóm đi quét sân. Biết rằng có ít nhất một bạn nữ được chọn, tính xác suất để ba bạn được chọn có cùng giới tính (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(2;1;3)$, đường thẳng $d$ có phương trình $\{\begin{array}{l}x=-1+t\\ y=1+t\\ z=2-2t\end{array}$, $t\in \mathbb{R}$ và mặt phẳng $(P)$ có phương trình $x-2y+z+2=0$. Phương trình chính tắc của đường thẳng $\Delta$ đi qua $A$, song song với mặt phẳng $(P)$ và vuông góc với đường thẳng $d$ có dạng $\frac{x+a}{b}=\frac{y-1}{c}=\frac{z+d}{-3}$. Giá trị của biểu thức $T=a+b+c+d$ bằng bao nhiêu?

Một cái cổng có kích thước như hình dưới. Vòm cổng có dạng một Parabol. Tính diện tích hai cánh cửa cổng (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).
[IMAGE_1]

Một nguyên hàm của hàm $f(x)=7x^2-2x\sqrt[3]{x}-\frac{1}{x}$ có dạng $F(x)=a{x}^3+b{x}^{\frac{7}{3}}-\ln |x|+2025$. Tính giá trị biểu thức $P=ab$.

Trong không gian $Oxyz$, mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;2;-3)$ và đi qua điểm $A(3;-2;1)$. Gọi $M(1;2;c)$ là điểm thuộc mặt cầu $(S)$ biết $c\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Cao độ điểm $M$ có giá trị bằng bao nhiêu?