Đề Thi Học Sinh Giỏi Cấp Tỉnh Khánh Hòa 2026-2027 - Môn Toán (Vòng 1) - Đề Số 1

(5,00 điểm)
a) Giải phương trình: $4x^4+8x^3-3x^2-\frac{13}{2}x-1=0$.
b) Cho tam giác $ABC$ không cân. Gọi $A,B,C$ là số đo theo đơn vị radian của các góc đỉnh $A$, $B$, $C$. Ta kí hiệu $BC=a,CA=b,AB=c$. Chứng minh:
$$\frac{A\sin A+B\sin B}{\sin A+\sin B}+\frac{B\sin B+C\sin C}{\sin B+\sin C}+\frac{C\sin C+A\sin A}{\sin C+\sin A}>\pi .$$

(3,00 điểm)
Tìm tất cả các giá trị của số $m$ để tồn tại duy nhất cặp số $(x,y)$ thỏa mãn:
$$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2-4x+2y+4=0\\ {\log }_{x^2+y^2+2}\left(4x+4y-6+m^2\right)\ge 1\end{array}$$

(2,00 điểm)
Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn điều kiện $x\ge \max |y,z|$. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$$P(x,y,z)=\frac{x}{y}+2\sqrt{1+\frac{y}{z}}+3\sqrt{1+\frac{z}{x}}.$$

(5,00 điểm)
Cho tam giác $ABC$ và $D,E,F$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB,BC,CA$. Tia phân giác của góc $\widehat{ADC}$ cắt $AC$ tại $N$, tia phân giác của góc $\widehat{BDC}$ cắt $BC$ tại $M$. Gọi $O$ là giao điểm của $MN$ và $CD$, hai đường thẳng $OE$ và $AC$ cắt nhau tại $P$, hai đường thẳng $OF$ và $BC$ cắt nhau tại $Q$. Chứng minh: $\frac{1}{EF}+\frac{1}{DC}=\frac{2}{MN}$ và $CD=PQ$.

(5,00 điểm)
Cho dãy số nguyên dương $(u_n)$ không là dãy hằng và thỏa mãn $(u_m-u_n)$ chia hết cho $(m-n)$, với mọi số nguyên dương $m,n$ phân biệt. Chứng minh rằng tập hợp các số nguyên tố xuất hiện trong các phân tích thừa số nguyên tố của các số hạng của dãy số $(u_n)$ là vô hạn.