Đề Thi Lập Đội Tuyển Học Sinh Giỏi Quốc Gia Toán 2025-2026 Sở GD&ĐT Tuyên Quang

Cho dãy số $(x_n)$ xác định bởi: $$\{\begin{array}{l}{x}_1=2,x_2=\frac{22}{23}\\ 23x_{n+2}=22x_{n+1}+x_n,\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\end{array}$$
a) Tính $\lim x_n$.
b) Đặt $y_n=\frac{x_1}{2}+\frac{x_2}{2^2}+\dots +\frac{x_n}{2^n}$, $\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Chứng minh rằng dãy số $(y_n)$ bị chặn.

Tìm tất cả các hàm số $f:(0;+\infty )\to (0;+\infty )$ thỏa mãn
$$x^2(f(x)+f(y))=(x+y)f(yf(x));\text{với mọi }x,y\in (0;+\infty ).$$

Với $k$ là một số nguyên dương ta kí hiệu $\delta (k)$ là tổng tất cả các ước nguyên dương của $k$. Chứng minh rằng:
a) $\frac{\delta \left(p^{2025}\right)-1}{p^{2025}-1}=\frac{\delta \left(p^{1945}\right)-1}{p^{1945}-1}$, với mọi số nguyên tố $p$;
b) $\delta (mn)\ge n\delta (m)+\delta (n)-n$, với mọi $m,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

Trên mặt phẳng, cho 4 điểm phân biệt $A,B,C,D$ trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Chứng minh rằng tồn tại một đường tròn $(\omega )$ đi qua 3 trong 4 điểm này và điểm còn lại thuộc miền trong của $(\omega )$ hoặc nằm trên $(\omega )$.

Bài 5 (7,0 điểm). Cho đa thức $P(x)$ có hệ số hữu tỉ, bậc bằng 2026 và có 2026 nghiệm thực $x_1<x_2<...<x_{2026}$ lập thành một cấp số cộng với công sai $d>0$. Chứng minh rằng:

a) $x_i^2+x_{2027-i}^2=\frac{1}{2}\left[{\left(2x_1+2025d\right)}^2+{\left(2i-2027\right)}^2{d}^2\right]$, với mọi $i=1,2,...,2026$;

b) $d^2$ là số hữu tỉ.

Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân và $AB<AC$. Các đường cao $BE$, $CF$ của tam giác $ABC$ cắt nhau tại $H$. Gọi $M$, $K$ lần lượt là trung điểm của $BC$ và $EF$; $N$ là giao điểm của $AM$ và $EF$; $P$ là hình chiếu vuông góc của $N$ trên cạnh $BC$.

a) Chứng minh rằng ba điểm $A$, $K$, $P$ thẳng hàng.

b) Đường tròn đường kính $AP$ cắt lại các cạnh $AB$, $AC$ lần lượt tại $Q$ và $R$. Gọi $X$, $Y$ lần lượt là trung điểm của $CQ$ và $BR$. Chứng minh rằng hai đường thẳng $XY$ và $HN$ vuông góc với nhau.

Bài 7 (6,0 điểm). Cho $A$ là một tập con có 23 phần tử của tập $S=\{1;2;...;5335\}$. Đặt $A_n=\left\{x+n\mid x\in A\right\}$, $\forall n\in S$. Chứng minh rằng:

a) Với mọi $i$, $j\in S$, tập $A_i\cap A_j$ khác tập rỗng khi và chỉ khi $|i-j|\in B=\left\{|x-y|\mid x,y\in A\right\}$;

b) Tồn tại 22 phần tử $t_1,t_2,...,t_{22}$ phân biệt của $S$ sao cho các tập $A_{t_1},A_{t_2},...,A_{t_{22}}$ đôi một giao nhau bằng rỗng.