Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân và $AB<AC$. Các đường cao $BE$, $CF$ của tam giác $ABC$ cắt nhau tại $H$. Gọi $M$, $K$ lần lượt là trung điểm của $BC$ và $EF$; $N$ là giao điểm của $AM$ và $EF$; $P$ là hình chiếu vuông góc của $N$ trên cạnh $BC$.

a) Chứng minh rằng ba điểm $A$, $K$, $P$ thẳng hàng.

b) Đường tròn đường kính $AP$ cắt lại các cạnh $AB$, $AC$ lần lượt tại $Q$ và $R$. Gọi $X$, $Y$ lần lượt là trung điểm của $CQ$ và $BR$. Chứng minh rằng hai đường thẳng $XY$ và $HN$ vuông góc với nhau.

Bài 7 (6,0 điểm). Cho $A$ là một tập con có 23 phần tử của tập $S=\{1;2;...;5335\}$. Đặt $A_n=\left\{x+n\mid x\in A\right\}$, $\forall n\in S$. Chứng minh rằng:

a) Với mọi $i$, $j\in S$, tập $A_i\cap A_j$ khác tập rỗng khi và chỉ khi $|i-j|\in B=\left\{|x-y|\mid x,y\in A\right\}$;

b) Tồn tại 22 phần tử $t_1,t_2,...,t_{22}$ phân biệt của $S$ sao cho các tập $A_{t_1},A_{t_2},...,A_{t_{22}}$ đôi một giao nhau bằng rỗng.