Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân và $AB<AC$. Các đường cao $BE$, $CF$ của tam giác $ABC$ cắt nhau tại $H$. Gọi $M$, $K$ lần lượt là trung điểm của $BC$ và $EF$; $N$ là giao điểm của $AM$ và $EF$; $P$ là hình chiếu vuông góc của $N$ trên cạnh $BC$.

a) Chứng minh rằng ba điểm $A$, $K$, $P$ thẳng hàng.

b) Đường tròn đường kính $AP$ cắt lại các cạnh $AB$, $AC$ lần lượt tại $Q$ và $R$. Gọi $X$, $Y$ lần lượt là trung điểm của $CQ$ và $BR$. Chứng minh rằng hai đường thẳng $XY$ và $HN$ vuông góc với nhau.

a) Ta có $MF=\frac{1}{2}BC=ME\Rightarrow \Delta MEF$ cân tại $M$ nên $\widehat{MKN}=90^0$. (1,0 điểm)

Mặt khác $\widehat{MPN}=90^0$. Suy ra 4 điểm $N$, $K$, $P$, $M$ thuộc đường tròn đường kính $MN$.



Ta thấy $AM$, $AK$ lần lượt là đường trung tuyến của tam giác $ABC$ và tam giác $AEF$. Mà $\Delta AEF\sim \Delta ABC$ nên $\Delta AKE\sim \Delta AMB$. (1,0 điểm)

Suy ra $\widehat{AKE}=\widehat{NMP}=180^0-\widehat{EKP}\Rightarrow \widehat{AKE}+\widehat{EKP}=180^0$. Do đó $\overline{A,K,P}$. (1,0 điểm)

b) Ta có $PQ\perp AB$ nên $PQ//CF$. Kết hợp với $\Delta ABP\sim \Delta AEN(g.g)$ suy ra
$$\frac{QB}{QF}=\frac{PB}{PC}=\frac{NE}{NF}\Rightarrow QN//BE\Rightarrow QN\perp AR.$$


(1,5 điểm)

Tương tự ta cũng có $RN\perp AQ$ nên $N$ là trực tâm tam giác $AQR$. (0,5 điểm)

Gọi $QU$, $RV$ là các đường cao của tam giác $AQR$. Ta thấy $B$, $V$, $E$, $R$ thuộc đường tròn $(Y)$ đường kính $BR$; $C$, $U$, $F$, $Q$ thuộc đường tròn $(X)$ đường kính $CQ$. (1,0 điểm)

Suy ra ${\wp }_{N/(X)}=NQ.NU=NV.NR={\wp }_{N/(Y)}$; ${\wp }_{H/(X)}=HC.HF=HB.HE={\wp }_{H/(Y)}$.

Vậy $NH$ là trục đẳng phương của hai đường tròn $(X)$, $(Y)$; do đó $XY\perp HN$. (1,0 điểm)