Tìm tất cả các hàm số $f:(0;+\infty )\to (0;+\infty )$ thỏa mãn
$$x^2(f(x)+f(y))=(x+y)f(yf(x));\text{với mọi }x,y\in (0;+\infty ).$$

Giả sử $f$ là một hàm số cần tìm. Cho $x=y=1$, ta được $f(1)=f\left(f(1)\right)$ (1). (1,0 điểm)

Giả sử $x_1,x_2\in (0;+\infty )$ thỏa mãn $f(x_1)=f(x_2)=a>0$. Khi đó ta có
$$\{\begin{array}{l}{x}_1^2(a+f(y))=(x_1+y)f(ay)\\ x_2^2(a+f(y))=(x_2+y)f(ay)\end{array};\forall y>0(2).$$ (1,0 điểm)

Từ (2) suy ra $\frac{x_1^2}{x_1+y}=\frac{x_2^2}{x_2+y}\Rightarrow (x_1-x_2)(x_1{x}_2+y(x_1+x_2))=0\Rightarrow x_1=x_2$. Vậy $f$ là đơn ánh. (1,0 điểm)

Vì $f$ là đơn ánh nên từ (1) suy ra $f(1)=1$. Cho $x=1$, $y\in (0;+\infty )$, ta được
$$1+f(y)=(1+y)f(y)\Rightarrow f(y)=\frac{1}{y}.$$ (1,0 điểm)

Thử lại $f(y)=\frac{1}{y}$ thỏa mãn bài toán. Vậy $f(y)=\frac{1}{y},\forall y>0$ là hàm số duy nhất cần tìm. (1,0 điểm)