Cho dãy số $(x_n)$ xác định bởi: $$\{\begin{array}{l}{x}_1=2,x_2=\frac{22}{23}\\ 23x_{n+2}=22x_{n+1}+x_n,\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\end{array}$$
a) Tính $\lim x_n$.
b) Đặt $y_n=\frac{x_1}{2}+\frac{x_2}{2^2}+\dots +\frac{x_n}{2^n}$, $\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Chứng minh rằng dãy số $(y_n)$ bị chặn.

a) Phương trình đặc trưng của dãy $(x_n)$: $23{\lambda }^2=22\lambda +1\iff \left[\begin{array}{c}\lambda =1\\ \lambda =\frac{-1}{23}\end{array}\right]$. Suy ra số hạng tổng quát của dãy $(x_n)$ có dạng $x_n=A+B\cdot {\left(\frac{-1}{23}\right)}^n$, $\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$; $A,B\in \mathbb{R}$. (1,0 điểm)

Từ $x_1=2$, $x_2=\frac{22}{23}$ suy ra $A=1,B=-23$. Do đó $x_n=1-23\cdot {\left(\frac{-1}{23}\right)}^n$, $\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. (1,0 điểm)

Vậy $\lim x_n=\lim \left(1-23\cdot {\left(\frac{-1}{23}\right)}^n\right)=1$. (0,5 điểm)

b) Ta có $\left|x_n\right|=\left|1-23\cdot {\left(\frac{-1}{23}\right)}^n\right|\le 1+\left|\frac{1}{23^{n-1}}\right|\le 2$, $\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. (1,0 điểm)

Suy ra $\left|y_n\right|=\left|\frac{x_1}{2}+\frac{x_2}{2^2}+...+\frac{x_n}{2^n}\right|\le \left|\frac{x_1}{2}\right|+\left|\frac{x_2}{2^2}\right|+...+\left|\frac{x_n}{2^n}\right|\le \left|\frac{2}{2}\right|+\left|\frac{2}{2^2}\right|+...+\left|\frac{2}{2^n}\right|=1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{2^{n-1}}=2\left(1-\frac{1}{2^n}\right)<2$, $\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Vậy dãy $(y_n)$ bị chặn. (1,5 điểm)