Bài 7 (6,0 điểm). Cho $A$ là một tập con có 23 phần tử của tập $S=\{1;2;...;5335\}$. Đặt $A_n=\left\{x+n\mid x\in A\right\}$, $\forall n\in S$. Chứng minh rằng:

a) Với mọi $i$, $j\in S$, tập $A_i\cap A_j$ khác tập rỗng khi và chỉ khi $|i-j|\in B=\left\{|x-y|\mid x,y\in A\right\}$;

b) Tồn tại 22 phần tử $t_1,t_2,...,t_{22}$ phân biệt của $S$ sao cho các tập $A_{t_1},A_{t_2},...,A_{t_{22}}$ đôi một giao nhau bằng rỗng.

a) Ta thấy $A_i\cap A_j\ne \varnothing \Rightarrow \exists x,y\in A:x+i=y+j\Rightarrow |x-y|=|i-j|\Rightarrow |i-j|\in B$. (1,0 điểm)

Đảo lại, nếu $|i-j|\in B$ thì tồn tại $x,y\in A$ sao cho $|i-j|=|x-y|$. Khi đó
$$|i-j|=|x-y|\Rightarrow \left[\begin{array}{c}x+j=y+i\\ x+i=y+j\end{array}\right]\Rightarrow A_i\cap A_j\ne \varnothing .$$
Vậy $A_i\cap A_j\ne \varnothing \iff |i-j|\in B$. (1,0 điểm)

b) Theo a) thì $A_i\cap A_j=\varnothing \iff |i-j|\notin B$. (0,5 điểm)

Ta thấy $|B|\le C_{23}^2+1=254$.
Chọn $t_1=1$. Đặt $C_1=S\setminus \left\{\alpha +t_1|\alpha \in B\right\}$. Khi đó $|C_1|\ge 5335-254>0$ và $C_1\subset S$. (0,5 điểm)

Chọn $t_2=\min \left\{t|t\in C_1\right\}$. Vì $0\in B$ nên $t_2>t_1\Rightarrow \left|t_2-t_1\right|=t_2-t_1\notin B$ bởi nếu ngược lại thì tồn tại $\alpha \in B$ sao cho $t_2-t_1=\alpha \Rightarrow t_2=t_1+\alpha$, trái với cách chọn $t_2$. (0,5 điểm)

Đặt $C_2=C_1\setminus \left\{\alpha +t_2|\alpha \in B\right\}$. Khi đó $|C_2|\ge |C_1|-254\ge 5335-2\times 254>0$ và $C_2\subset C_1$. (0,5 điểm)

Chọn $t_3=\min \left\{t|t\in C_2\right\}$ thì $t_3>t_2>t_1\Rightarrow \left|t_3-t_2\right|=t_3-t_2\notin B$.
Nếu $\left|t_3-t_1\right|\in B$ thì tồn tại $\alpha \in B$ sao cho $\left|t_3-t_1\right|=\alpha \Rightarrow t_3=t_1+\alpha \notin C_1\Rightarrow t_3\notin C_2$, vô lí. Vậy $\left|t_3-t_1\right|\notin B$. (1,0 điểm)

Lặp lại lí luận trên đến khi có tập $C_{21}$. Khi đó $|C_{21}|\ge 5335-21\times 254=1$ và
$$C_{21}\subset C_{20}\subset ...\subset C_1.$$ (0,5 điểm)

Chọn $t_{22}\in C_{21}$ thì $t_{22}>t_{21}>...>t_1$ và nếu tồn tại $i\in \{1;2;...;21\}$ sao cho $\left|t_{22}-t_i\right|\in B$ thì tồn tại $\alpha \in B$ sao cho $\left|t_{22}-t_i\right|=t_{22}-t_i=\alpha \Rightarrow t_{22}=t_i+\alpha \notin C_i\Rightarrow t_{22}\notin C_{21}$, vô lí.
Vậy $t_1,t_2,...,t_{22}$ thỏa mãn $\left|t_i-t_j\right|\notin B\Rightarrow A_{t_i}\cap A_{t_j}=\varnothing ,\forall i\ne j$. (0,5 điểm)

Ghi chú: Nếu thí sinh làm bài theo cách khác, với kiến thức trong chương trình THPT (hoặc THPT chuyên), thì vẫn cho điểm các phần đúng tương ứng.